Das Verfahren der kleinen Schritte 2D - HCA-Software (Sh)

Für die Formeln für F_x und F_y sind die Variablen x, y, vx, vy und t zulässig. Alle anderen Eingaben sind Konstanten. x₀, y₀ sind die Koordinaten zum Zeitpunkt t₀. v_x,0 und v_y,0 sind die Geschwindigkeitskomponenten zum Zeitpunkt t₀. Die Masse des Körpers ist m. Mit der Schrittweite Δt werden nun mit t₀ beginnend bis t_end die Zustände des Körpers berechnet.

Anfangsbedingungen:

t₀, v_x,0, v_y,0, x₀, y₀

Berechnungsmethode:

t_n+1 = t_n + Δt

v_x,n+1 = v_x,n + F_x/m·Δt; v_y,n+1 = v_y,n + F_y/m·Δt

x_n+1 = x_n + v_x,n·Δt; y_n+1 = y_n + v_y,n·Δt

v_x,v_y-Diagramm

x,y-Diagramm

Da die Berechnung der Zustände sehr viele Berechnungen in zeitlich kurzem Abstand erforderlich macht, kann man im Feld nach dem Button angeben, wieviele Ergebnisse man für die Simulation auslassen will. Mit dem Button kann man die Simulation starten oder stoppen.

Das Verfahren der kleinen Schritte gestattet es, schwierigste Vorhersagen über die Bewegung eines Körpers zu machen, wenn die physikalisch wirksamen Kräfte und die Anfangsbedingungen bekannt sind. Das hier verwendete Eulersche Verfahren, von einem Zustand (v_x,n,v_y,n,x_n,y_n) auf den nächsten Zustand (v_x,n+1,v_y,n+1,x_n+1,y_n+1) in der Zukunft Δt zu schließen ist das einfachste Verfahren. Es gibt bessere Verfahren, aber das Eulersche Verfahren ist sicher das durchsichtigste Verfahren, um das Prinzip der Berechnung zu verstehen.

Das Verfahren kleiner Schritte kann auch auf dreidimensionale Probleme angewandt werden. Ein Zustand wird dann durch (v_x,v_y,v_z,x,y,z) beschrieben. Der Übergang auf einen neuen Zustand wird wiederum durch die physikalische Kraft (F_x,F_y,F_z) vermittelt. Die 6 Übergangsgleichungen werden analog zu oben ermittelt.

Wir können auch für ein System von n Teilchen im Raum Vorhersagen treffen. Dazu betrachten wir die 3n Geschwindigkeitskoordinaten und die 3n Raumkoordinaten, also 6n Koordinaten insgesammt. Teilchen j bewirkt an Teilchen i die vektorielle Kraft F_i,j. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz gilt F_i,j = - F_j,i. Damit wirkt auf Teilchen i die Gesamtkraft F_i = Σ_j≠i F_i,j durch alle anderen Teilchen. Damit können wir den neuen Zustand des i-ten Teilchens berechnen. Wenn wir dies für alle Teilchen durchführen, können wir die neuen 6n Koordinaten des nächsten Zustands berechnen.

Wenn wir n wechselwirkende Teilchen vor uns haben und der Anfangszustand exakt bekannt ist, können wir also die Zukunft vorausberechnen. Damit wäre kein Zufall in der Welt und alles vorbestimmt. Die Welt wäre also voll deterministisch und so etwas wie Willensfreiheit eine Illusion. Dem ist aber nicht so, da die Quantenmechanik vorhersagt, dass wir keine Chance haben, den Anfangszustand von Geschwindigkeit und Ort für ein Teilchen exakt zu bestimmen. Damit haben wir keine Möglichkeit die Zukunft im Ganzen vorauszuberechnen. Die Zukunft ist also weiter für Überraschungen offen.

Komplizierte Weltraummanöver, wie zum Beispiel Swing-By-Manöver für Raumsonden, kann man nicht analytisch lösen und es bleibt nur die Möglichkeiten solche Manöver mit dem Verfahren kleiner Schritte vorauszuberechnen. Da wir für die makroskopische Raumsonde keine Quantenmechanik benötigen, führen die Kräfte der klassischen Mechanik zu exakten Vorhersagen für die Planung eines Raumflugs.