Wir definieren den Umfang des Einheitskreises (Radius: 1) als u1=2·π. Dieser kann mathematisch nicht direkt bestimmt werden, da Längen zunächst nur für Strecken definiert sind, nicht aber für gekrümmte Kurven. Wir nähern den Kreisumfang durch ein n-Eck an. Je größer die Anzahl der Ecken ist, desto genauer nähert der Umfang des n-Ecks den Umfang des Kreises an.
Ein guter Beginn ist die Befragung der Bibel. Sie gibt in 1.Könige (7.23) eine klare Antwort. Es gilt π ≈ 3. Wie kamen die alten Hebräer darauf?
Wir zeichnen einen Kreis vom Radius 1 und zeichnen ein reguläres Sechseck ein. Dieses besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge 1. Damit ist der Umfang des Sechsecks 6. Wenn wir den Umfang des Sechsecks als Näherung für den Kreisumfang nehmen gilt 2·π ≈ 6 und damit π ≈ 3. Also keine schlechte Näherung, aber zu kurz!
Die Idee von Archimedes (ca. 250 v.Chr) war, beginne mit einem n-Ecke (n=6, Seitenlänge: sn=1) und schließe damit auf die Seitenlänge s2n. Damit können wir auf den Umfang u2n=2n·s2n des 2n-Ecks schließen und damit eine bessere Näherung des Kreisumfangs gewinnen.
Es gilt hn=√1-(sn/2)2 und s2n=√(sn/2)2+(1-hn)2= √2-2hn= √4-4hn2/√2+2hn= sn/√2+2hn= sn/√2+2√1-(sn/2)2.