Bewege den Punkt L auf der Leitlinie mit der Maus.
Wir können daher die Parabel als den geometrischen Ort aller Punkte P definieren, für die die Entfernung FP von einem festen Punkt F (Brennpunkt) gleich dem Abstand PL von einer festen Gerade l (Leitlinie) ist. Den Punkt mit dem kleinsten Abstand von Brennpunkt und Leitlinie nennt man Scheitel S. Den Abstand von S zu F nennt man Brennweite f.
Wir legen nun in die Zeichnung ein Koordinatensystem mit dem Ursprung als Scheitel S. Die Koordinten des Punktes F sind dann F(0,f). Nun betrachten wir einen Punkt P(x,y) auf der Parabel. Es gilt FP=√x2+(y-f)2 und PL=y+f. Gleichsetzen und quadrieren liefert sofort x2=4fy. Damit erhalten wir y=1/(4f)·x2
Wegen FP=PL liegt P auf der Mittelsenkrechte m von F und L. Also ist P ein Schnittpunkt der Parabel mit der Mittelsenkrechten m. Um zu zeigen, dass m wirklich Tangente an der Parabel ist, führen wir einen indirekten Beweis.
Wir nehmen an, es gäbe einen weiteren Schnittpunkt Q der Parabel und der Mittelsenkrechten m. Da Q der Parabel angehört, gilt FQ=QL'. Da aber Q auch auf der Mittelsenkrechte m liegt, gilt FQ=QL. Damit haben wir aber QL=QL', was aber in dem rechtwinkligen Dreieck LQL' nicht richtig sein kann. Also gibt es keinen zweiten Schnittpunkt und m ist wirkich eine Tangente an der Parabel.
Da m die Symmetrieachse von F und L ist, gilt ∠(FP,m)=∠(m,PL). Ein Lichtstrahl, der vom Brennpunkt F ausgeht und auf die Parabel trifft, wird daher so reflektiert, dass er nach der Reflexion parallel zur y-Achse verläuft (Parabol-Scheinwerfer). Umgekehrt wird ein Lichtstrahl der parallel zur y-Achse einläuft so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht (Parabolantenne).