Wir wollen das Quadrat (1+2+3+...+n)2=(1+2+3+...+n)·(1+2+3+...+n) ermitteln. Dazu multiplizieren wir die beiden Klammern aus und notieren die einzelnen Produkte in einem quadratischem Schema. Die Summe aller dieser Zahlen ist dann das gesuchte Quadrat.
n: n = 5 K(5) = 225
Jetzt zerlegen wir das Schema in die unten dargestellten Haken.
n: n = 5 K(5) = 225
Nun sehen wir uns den k-ten Haken, der mit k beginnt und mit k endet, genauer an. Aus der Summe der Haken-Elemente können wir k ausklammern und erhalten
k·[1+2+3+...+(k-1)+k+(k-1)+...+3+2+1]
Die hintere eckige Klammer sieht nach einer Quadratzerlegung aus und ist daher k2. Damit ist die Summe des k-ten Hakens gleich k3. Damit haben wir folgende Formel gefunden
(1+2+3+...+n)2=13+23+33+...+n3
Andererseits wissen wir, dass D(n)=1+2+3+...+n eine Dreieckszahl ist. Für sie gilt aber die Formel D(n)=1/2·n·(n+1). Damit haben wir den endgültigen Term für die Summe der dritten Potenzen gefunden.
K(n)=13+23+33+...+n3 = 1/4·n2·(n+1)2